Проблема заключается в том, что в стандартной поставке QT нет плагина для баз MySQL. Что впрочем решается достаточно просто.
1. Сначала устанавливаем MySQL Community Server. Для сборки плагина из него нужны только папки include и lib. Допустим установили мы его в папку C:\mysql.
2. Устанавливаем Qt SDK (у меня 4.7.4). При установке нужно выбрать "исходники" (я плагин компилировал после установки, поэтому я зашел в установку/удаление программ -> Qt SDK. В мастере выбрал Update -> Custom -> поставить галочку у исходников).
3. Дальше нужно открыть консоль Qt. Ищем ее в меню Пуск в группе QT.
4. Доходим до папки, куда установлены исходники плагина и компилируем его:
c:\>cd d:\QtSDK\QtSources\4.7.4\src\plugins\sqldrivers\mysql
c:\>qmake "INCLUDEPATH+=C:/MySQL/include" "LIBS+=C:/MySQL/lib/libmysql.lib" mysql.pro
c:\>mingw32-make
c:\>mingw32-make -f Makefile.Release
5. Полученные файлы (release\libqsqlmysql4.a; release\qsqlmysql4.dll; debug\libqsqlmysqld4.a; debug\qsqlmysqld4.dll) копируем в папку c:\QtSDK\Desktop\Qt\4.7.4\mingw\plugins\sqldrivers.
6. А файл c:\mysql\lib\libmysql.dll в папку c:\QtSDK\Desktop\Qt\4.7.4\mingw\bin
Все должно работать. Проверить можно проектом sqlbrowser из примеров Qt
Статья написана на основе: http://buldin.org/?p=31 и http://zloiia.ru/?e=13
UPDATE 17.10.2019:
На новом Qt 5.13.1. не получилось сразу скомпилировать библиотеку.
Нужно сделать следующее
1. Открываем консоль Qt
2. Переходим в папку VS и настраиваем окружение
3. Переходим в папку исходников плагинов для баз данных
c:\>cd C:\Qt\5.13.1\Src\qtbase\src\plugins\sqldrivers
4. Конфигурируем исходники
C:\Qt\5.13.1\Src\qtbase\src\plugins\sqldrivers>qmake -- MYSQL_PREFIX=C:\mysql MYSQL_LIBS=-lmysqld
5.1. Если все сконфигурировалось (после проверки вывод mysql.. yes, то компилируем
C:\Qt\5.13.1\Src\qtbase\src\plugins\sqldrivers>cd mysql
C:\Qt\5.13.1\Src\qtbase\src\plugins\sqldrivers\mysql>nmake
5.2.1. Если вывод mysql.. no, то проверяем пути, переходим в папку qtbase и реконфигурируем
C:\Qt\5.13.1\Src\qtbase\src\plugins\sqldrivers\mysql>cd C:\Qt\5.13.1\Src\qtbase
C:\Qt\5.13.1\Src\qtbase>configure MYSQL_PREFIX=C:\mysql -recheck_all
5.2.2. После перепроверки возвращаемся к шагу 5.1